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어느날 고공을 나오면서 [1152386] · MS 2022 (수정됨) · 쪽지

2024-11-28 01:21:48
조회수 2,110

(뇌아픔 주의)역함수에 관한 고찰

게시글 주소: https://io.orbi.kr/00070184273


출처 ) 2025 지인선 N제 7회차 22번


(가)조건을 봤을 때 어떤 식으로 해석을 해야 할까요?

아마 많은 학생들은 가 조건을 보고 아래와 같은 사고과정을 거쳤을것입니다

언뜻 보면 타당해 보입니다

하지만 역함수의 정의를 엄밀하게 생각해보면

우리는 g(x)가 '연속함수'라는것만 알지 다른 조건에 대해선 무지합니다

다시 말해 이 친구는 무한한 가능성을 가졌다는 겁니다


다항함수가 역함수를 가지려면 항상 증가/감소 해야 한다는 것은 자명합니다

그럼 증가했다가 감소했다가 증가하는 함수는 왜 안되는데요? 

하나의 정의역에 대해 두개이상의 치역이 생기기 때문입니다

예를들어 f(1) = 1,2,3... 이런식으로 말이죠


하지만 그 치역중에 하나를 선택할수 있다면?

f(g(x))=x 지만 g(x)는 역함수가 아닌 함수가 탄생 한다는 것 입니다


예를들어 볼까요

이함수의 y=x 대칭 함수는 

이렇게 생겼습니다

여기서 치역을 골라서 간다면?


이런 함수가 있을수 있겠죠

이렇게 된다면 이함수를 g(x)라 했을때

f(g(x)) = x 를 만족한다는 것입니다


즉 이 문제에서의 증가 감소조건은 사실 없는조건입니다


그러면 (가)조건을 어떻게 해석했어야 하나?

y=x의 한점에서 치역에 대응되는 f(x)의 x좌표가 g(x)+f(2) 인것입니다 

이는 또다시 거리관점으로 해석가능한데

x=f(2) 축을 그리고

위에서와 같이 치역에 대응되는 x좌표까지의 거리가 g(x)라고 볼 수 있습니다

y=0 에서 대응되는 점이 두개니까 g(0)의 후보군은 두명이지만

g(x)가 연속이라는 조건을 준점을 통해

멀리있는 쪽이 g(0)으로 확정된다는 것을 알수있죠




재밌지 않나요

이글 이륙하면 해설까지 이어서 써볼게용

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