다항함수의 미분계수의 역수의 합 (feat. 240728)
게시글 주소: https://io.orbi.kr/00069099108
안녕하세요. 오르비에 글을 처음 써 봅니다.
어제 OnlineMathContest에서 열린 OMCB020에 참가했습니다. G번 문제 해설을 봤는데 처음 보는 공식이 나와서 공유하고자 이 글을 씁니다.
G번 문제는 다음과 같습니다.
구글 번역기로 번역해보면 다음과 같습니다.
실수 계수 3차 다항식 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실수 해 p, q, r을 가지며 x=p, q에서 f(x)의 미분계수는 각각 9, -7이었습니다. 이때 x=r에서 f(x)의 미분계수를 구하십시오. 그러나 원하는 값은 서로소인 양의 정수입니다. a, b를 사용하여 a/b로 표현할 수 있으므로 a+b를 해답하십시오.
수능 문제 형태로 다시 써보면 다음과 같습니다.
삼차함수 f(x)에 대하여 방정식 f(x)=0은 서로 다른 3개의 실근 p, q, r을 가지며 f'(p)=9, f'(q)=-7이다. f'(r)=a/b일 때, a+b의 값을 구하시오. (단, a와 b는 서로소인 자연수이다.)
해설을 보면 별해가 있는데 다음과 같습니다.
0이 아닌 실수 c를 사용하여 
로 나타낼 수 있다. 이때 x=p,q,r의 미분계수는
이다. 일반적으로 서로 다른 복소수 a,b,c에 대한 항등식
이 성립한다(통분함으로써 용이하게 확인할 수 있다). 따라서
그리고, 여기에서 
이다. 일반적으로 중근이 없는 2차 이상의 다항식 근에서 미분계수의 역수의 합은 0이다.
검색해 봤더니 나무위키에 역수의 합에 관한 내용이 있었습니다. 공식은 다음과 같습니다.
n≥2이고 xi<xi+1(i=1,2,3,...,n-1)인 n차 다항함수
에 대하여 다음이 성립한다.
증명은 여기를 눌러서 보세요.
예제를 직접 만들어 봤습니다.
예제1) 5차함수 f(x)와 서로 다른 실수 a,b,c,d,e에 대하여 f(a)=f(b)=f(c)=f(d)=f(e)=0이고, f'(a)=f'(e)=-6, f'(b)=f'(d)=24이다. f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
예제2) 삼차함수 f(x)와 일차함수 g(x)=2x-1이 서로 다른 세 점 (a,f(a)), (b,f(b), (c,f(c))에서 만나고, f'(a)=5, f'(b)=0일 때, f'(c)의 값을 구하시오.
풀이
함수 h(x)를 h(x)=f(x)-g(x)라 합시다. h'(x)=f'(x)-g'(x)=f'(x)-2입니다. 방정식 h(x)=0은 서로 다른 세 근 a,b,c를 가지므로
입니다. 계산하면
입니다.
기출문제에 적용해서 풀어봅시다.
2024학년도 고3 7월 미적분 28번
(가) 조건에 의하여 g(0)=0=f(0), (나) 조건에 의하여 g(k)=k=f(k), g'(k)=1/3, f'(k)=3입니다. f(x)의 역함수가 존재하므로 f(x)는 증가함수입니다. f(x)의 그래프를 다음과 같이 그릴 수 있습니다.
p(x)=f(x)-x라 하면, p'(x)=f'(x)-1이고, p'(k)=f'(k)-1=2입니다. f'(x)≥0이므로 p'(x)≥-1입니다. 방정식 p(x)=0은 서로 다른 세 실근 0,b,k를 가지므로
입니다. p'(0)에 대하여 풀어주면
입니다. p'(b)=-1일 때, p'(0)은 최댓값 2를 갖습니다. 따라서 f'(b)=0일 때, f'(0)은 최댓값 3을 갖습니다.
f'(0)의 값이 최대일 때, f'(0)=f'(α)=3이므로 f(x)는 점 (α/2, f(α/2))에 대하여 점대칭입니다. b=α/2이므로 f'(α/2)=0입니다. 그래프를 다시 그려보면 다음과 같습니다.
f'(x)=3x(x-α)+3이고, 
이므로 α=2입니다.
α=2를 대입하면 f'(x)=3(x-1)2이고, f(x)=(x-1)3+1입니다. f(3)=9, g(9)=3이므로
따라서
입니다.
2024/09/08 예제1에서 f(d)->f'(d)로 오타 수정했습니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
딱대라 스벅ㅋㅋ
-
씻고 나오니까 다 까먹
-
한 문제 때문에 6칸에서 4칸 불합으로 바뀜 인생...
-
일단 윤석열 김용현 정도인가 어제 국방위를 봤어야 하는데
-
- 롤 / 롤체 - 옵치 - 3명이서 맞똥
-
동대식 689.7 홍대식130.75
-
저는 아버지 직업땜시 이사가 많았음 한 5번 한것같아요 그래서 어렸을때 살던곳 찾아가는것도 재밌음요
-
뚜껑닫아둔 병에서 공기 새면서 생명체같은 소리남 오..,,
-
고전문학에 ~하느뇨 이거에서 따온건가..
-
예비 8번 받았습니다 빠지는 분 계신가요 ㅎㅎㅎ
-
지난주까지만해도 계좌에 +20적혀있었는데 아!!!!!!
-
ㅈㄱㅅ 요즘엔 롤 포지션 다 배정해주던데 이것을 안다면 당신은 화석
-
속보)김용현 살자 시도 11
-
22학년도에서 그렇게 미친듯이 어려웠음? ㅇㅇ
-
ㅇㅂㄱ 0
잘잤당
-
굿모닝 12
상쾌하고좋은아침
-
지2=물3 4
이렇게 주장하면 잡혀가나요?
-
리제로 3기 보려는데 11
2기랑 극장판 봤던거 싹다 기억 안남... 다시 정주행해야하나...
-
무무 1
?
-
근데 140에서 70퍼 수강료 할인인데 왜 52인지 아시는분? 자습실 사용료 까지 포함인가
-
기하는 수능 끝나면 맨날 꿀꿀 소리 듣고 막상 퍼센트 까면 3임 2
이번에도 똑같을거
-
과외알바를 생각하시는 분들을 위한 매뉴얼&팁입니다. 미리 하나 장만해두세요~~...
-
12월 개강하는건 뭐하는거임?
-
나만의 꿀통이야
-
-
근데 그게 오히려 좋음
-
인설의 합격권은 그냥 모집정지든 뭐든 ㅈ까고 원서 지르고있고 인설치대 쓰는 애들도...
-
그냥 사람 아예 안 만나고 딱 아침에 가볍게 카디오 해주고 저녁엔 무게 치고 사이엔...
-
-
??
-
상담방 열었다가 4
바로 정신과 환자분들한테 연락와버린... 상대하기 개버겁네
-
ㅈㄱㄴ
-
세인트 오픈채팅방이 300개가 꽉 차버렸습니다 21학번인가부터 했는데 안나간 방이...
-
행성의 질량이 일정하다 가정하면
-
3합했는데 5칸은 최초합 4칸들은 전화추합함 작년 진학사가 실제 컷 대비 다소 높게...
-
그냥 3d상상 + 단면도 위주로 쓰는 기하러들 입장에선 지2 천구 개꿀딱임 3d상상...
-
조금 우울해,,,
-
6모때 미적 3등급 9모때 미적 3등급 11월에 기하 2등급(백분위 90) 6월...
-
EAR SEX
-
동컴어떰요 7
갠차늠?
-
넌 재수강이다
-
진짜 한번만 꼭 먹어봐라 계란 프라이 반숙이랑 먹으면 신세계 영접 가능함
-
자연계 수능 너무 쉽게 내는거 아님? 수능은 문과가 너무 불리한듯
-
단국대 넣으면 원서비 날리는걸까요? 진학사에선 인문 낮은과 4~5칸으로 나오는데...
-
백분위 합 286인데 반수반 들어갈듯 합니당 반수시즌에 장학 컷...
-
공통만 가르침뇨? 기하 수요자가 많이 드물 거 같은데
-
소신발언 6
이 두문제는 같은 문제라 생각해요
-
궁금함뇨
-
주관적 라면 원탑들 12
짜파게티 사리곰탕 콕콕 스파게티
-
난리난 ‘꿀떡 시리얼’ 먹어봤더니…쫀득달콤 ‘K-디저트’ 핫한 이유 있네 12
기존 제품을 색다르게 요리하거나 어울리지 않을 것 같은 재료를 조합해 자신만의...
오.....
저걸 처음 생각해낸 사람은 도대체 뭘까
재밌는 성질 감사합니다