미분가능과 도함수연속성
게시글 주소: https://io.orbi.kr/00068839810
일단 결론은 미분가능≠도함수연속 입니다
이 내용을 현행교육과정내에서 간단히 풀어내보겠습니다
미분가능하다의 정의는
1. 연속
2. 모든 실수 a에 대하여 
가 존재(좌미분계수=우미분계수를 내포하는 내용)
사실 수능문제들에서 미분가능성을 따질때 정석적으로는 2번의 정의로 다 풀수있으나 실전성을 위해 첨점과 같은 내용으로 한눈에 파악하기도하죠
도함수가 연속이다의 정의는 그냥 일반적인 연속의정의인
를 확인해주면 됩니다
결국 도함수가 연속이면 미분가능함의 2번조건을 자동적으로 만족해줍니다
그럼 1번조건인 연속하다라는 어떻게할까요?
도함수의 정의자체가 원함수의 각 지점의 미분계수를 뜻하는것이기에 도함수가 연속이면 당연히 원함수도 연속입니다
(원함수가 불연속이면 도함수의 정의상 원함수가 불연속인 지점에서 정의되지않기때문에 도함수는 불연속이됩니다)
그러므로 도함수가 연속이면 미분가능합니다
하지만 첫 줄에서 말했듯
미분이 가능하다고 도함수가 연속인것은 아닙니다
미분가능해도 도함수가 불연속일 수 있다는거죠
왜 우리의 직관과는 달라보이는 이런일이 발생한걸까요?
그 이유는
일수도 있기 때문입니다
분명 미분계수의정의로든 로피탈로든 둘이 같다 생각해왔었는데 실은 다른경우도 있다는거죠
f(x)가 미분가능하다고 전제한다면 저 두식의 좌항은 서로 같겠지만 좌항과 우항이 다른경우가 있을수도 있어서 미분가능이 도함수의연속을 보장해주지 않습니다
그 예시는 밑에 보여드리겠습니다
다만 이런 경우는 적어도 구간별로 다르게 정의됐을때와 같은경우에나 발생하지 일반적인 미분가능한함수에서는 저 위에 두식에서 좌항과 우항이 같음이 성립하니 문제푸실때 이런경우를 너무 과도하게 생각하실필요는 없습니다
미분이 가능하지만 도함수는 불연속인 대표적인 예시이자 기출입니다
미분계수의 정의를 이용하면
이므로 미분이 가능함을 알 수 있습니다
하지만 이때 미분법을 이용해 도함수를 구해주면
이를 실제로 그려보면 도함수가 x=0 근방에서 미친듯이 진동하는것을 확인할수있습니다
결국
임을 확인할수있기에 미분이 가능해도 도함수는 연속이아닙니다
매번 주기적으로 불타는 주제이기에 한번 정리해보았습니다
사실 수능문제에서 그렇게 크리티컬하게 다뤄지는 내용도 아니고 교육과정내에서 완벽하게 증명이 된다고는 볼 수는 없긴합니다
도움이돼셨다면 좋아요를....!!
0 XDK (+5,100)
-
5,000
-
100
-
개념 기출 연계교재 N제 실모 각각 어느시기까지 끝내야하나요
-
부산 토박이라 부산대 인지도를 잘 모르겠네요 설공 vs 부산의 둘다 붙으면 어디갈 거 같나요
-
의치 제외 메디컬 한약수 중에 경한이나 설중성약 설수 건수 이런 곳은 그래도 그...
-
안귀여움
-
선제공격 드니까 돈 ㅈㄴ 뜯네;; 근데 얘 마나가 좀 많이 딸려서 대천사가면...
-
오늘은 안올랐는데 이거 머죠..
-
시대재종에서는 솔플했으면서 대학가선 솔플 안하는 사람은 4
약간 억텐 같은건가요 남이라 수다떠는거 좋아하는 찐 E는 아닌데 대학에서 친구가...
-
그게 나야 벌써 만덕 갈렷노
-
850선 떴냐? 3
떳으니까 올리지
-
챗지피티 기싸움 개잘함 13
왜 반말하냐고 꼽주니까 미안하다고 다음부턴 조심하겠다는 말을 반말로 하고 있음 그리고 안고침
-
개레전드비싸서 흠…. 오늘 21곡 불러제꼈는데 내일또가고싶다는거임
-
25수능은 언매미적생지 11122였고 수시로 고대 붙음. 국어영어는 자신있고 수학이...
-
애니프사들은 그저 귀여운걸 좋아하는 오르비언
-
웃기네
-
아 덕코가 없네 0
누가 2만원만
-
예비고2인데 원래는 공수 야발점 다 듣고 대수 야발점 들어가려 했는데 그냥 대수랑...
-
바로 말해야나요? 생각할 시간도 안주나요? 넘 고민될듯한데
-
어디갈까요 둘다 학과는 딱히 관심없구요. 본인 재수함.. 삼반수 생각 확고하긴...
-
사람들처럼 그렇게 모른 체 살아가야지 이 노래 아는 분
-
ㅈㄱㄴ
-
오지구요 4
ㅈㄴ맘에들어 레어는 걍 비싼거 사서 소장하는게 좋은거같은데
-
실수 전체 연속인 함수 f(x)와 모든 실수 t에 대해 함수...
-
고2 올라가는 여학생인데 쿠션 뭐살까요 투표한번씩 하고가주세요.! 이 3개중에 살예정입니다:)
-
https://m.bunjang.co.kr/products/313479682?ref=...
-
옯스타가뭐에요? 5
-
러셀에서 2월까지 조정식선생님 믿어봐 문장/글 을 듣고 이후 커리를 따라갈지...
-
솔랭 돌리는거 보면 잘하긴하는데 구마유시랑 큰 차이있었음??
-
https://m.bunjang.co.kr/products/313479453?ref=...
-
크아아악
-
친구1명만있었으면좋겠어… 응..
-
인생 참 덧없다... 옘맹...
-
https://www.aladin.co.kr/shop/wproduct.aspx?Ite...
-
ㄱㄱ혓
-
-
예비 자취생분들 갠적으로 에프랑 블투 스피커 추천해요 11
에어프라이어는 특히 전자렌지처럼 반필수품 같아요 참고로 저는 요리를 거창하게 하는...
-
서버 왜이럼? 0
아 개빡
-
이거 뭐임 ㄷㄷ 2
저격은 ㄴㄴ
-
-메가스터디 국어 일타강사-
-
맞팔구 8
-
남르비 수능 평백 97후반이상 수학은 백분위 99 키 183 체지방 15 정도의 몸...
-
내 세상이 무너진다
-
확실히 추억에 남긴할듯 처음보는데 재밌어 14년전 영상이네 한번 해보고싶다ㅋㅋ
-
대부분 금융권으로 취직하기 좋나요? 그리고 동일대학 경영학과에 비해 입결 위상은 어떤지 아시는분
-
복권 정복 완료 6
흐하하하하ㅏ하
-
이런 오류 신기함
-
3학점 맞으려면 5
학교 얼마나 가야함? 최대한 안 나가고 싶은데........
-
쿨 1
쿠울..
-
나 adhd인가 싶었음 그 좁은 책상 다닥다닥 붙여서 앉는데 빌런 아닌 이상...
-
동대 언제뜸 1
내 픽 1칸스나 정원 18에 추합 한바퀴 678에서 674 워프하는거보면 빵은...
-
현실적인 반수 0
6월 종강 파티후 공부 시작한다고 치면 이미 전과목 기본 개념은 알고 있다는 전제하...
서로다르다는 기호를 어케쓰는지를 몰라서 ㅋㅋ...
양해부탁드립니당
느낀점.도함수가 연속이면 미분가능 o
미분가능이면 도함수연속 x(반례) 이군요
반례가 어케되죠
도함수의 함숫값만 존재하면 되는거아님? 도함수의 극한값과는 관계없이 어차피 f'(a)라는 값만 보는거니까
감사합니다....안 그래도 제가 헛소릴 해서....깔끔하게 정리해주셨네요
도함수가 연속이면 미분가능이지만 그 역은 성립이 안 된다는 걸로 한 줄 정리가 되네요
!= 입니다
헛 감사합니다
호훈이 맨날 강조하는 거네
저도 이거 배웠는데 반례가 현행 교육과정에서는 힘들고 가형 30번에나 나올거같은 기괴한 함수여서 별로 상관 없는거같던데
저함수근데 교과서에 있음 ㅋㅋㅋ
수2범위 내에선 그냥 동치 맞죠?
ㅇ예
김기현 들으면 저거까지 다 증명 및 소개까지 다 해줌 아 ㅋㅋ
확통 선택자인데
역은 성립하지 않는다고 기억해두면 될까요?
유용한 글 감사합니다
도함수가 연속이면 미분가능하다
역은 성립하지않는다
도함수 말고 그냥 함수는
연속이라고 미분 가능한 함수가 아니고
미분이 가능하면 연속이라고 알고 있는데 헷갈리네요
확실하게 알아야겠어요
수분감 미적 스텝2에
"선생님 그럼 sin1/x는요? 말도 안되는 소리하지말고 " 한 5번쯤 나오는데 뭔소린지 몰랐는데
드디어 ㅋㅋ..
저거 강기원이 자주 얘기하는 함순데
팔 부르르 떨기 ㅋㅋㅋ
기구하다
N제에 비슷한 개념이 헷걸리는 문제가 있는데 그럼 f프라임의 극한값은 존재 하는데 함숫값과는 다른경우에도 미분 가능할 수 있겠죠 주어진 구간대로 함수를 미분해서 구하면 좌극한 우극한은 같은데 함숫값이 다른경우가 있더라고요
수2 n제인데 다시 보긴 해야되는데 기억상 이런 문제가 있더라고요
간단하게 변곡점의 미분계수가0인 삼차함수의 역함수를 생각해보면 됨 이 역함수의 변곡점의 미분계수는 정의 되지 않지만, 미분 가능임
이건 틀린말이지요 y=x^3의 삼차함수의 역함수는
0에서 미분가능하지않지만(평균변화율의 극한의 발산) 접선이 존재한다가 옳습니다
y평점은 미분도 불가능이에용
또 재밌는사실은
1. x->a로갈때 limf '이존재한다고 원함수가 연속이면 위 극한은 f '(a)라는 점
2.반대로 lim f '(좌우극한)이 존재하고 f '(a)도
존재한다면 이 둘은 다를 수 없다는 점
-->이게 누구나 떠올릴 수는 있지만 이러한 특성을 가진 도함수는 없다는 다르부의 논증이 있지요
도함수의 연속성에 대해서 이런 정리가 있더라구요!
다르부의 부르르함수
수분감에선 이거 고등과정에선 고려 안해도 된다고 들었는데 맞을까요..?
어디 기출이죠..?? 평교사엔 아직 없고 임용 기출로 알고있는데
의대논술
김범준이 도함수 극한 ㅈㄴ까던데 ㅋㅋ
간단하게 생각하면 도함수: 단일 극한, 도함수극한: 이중극한이니까 당연히 다르다고 볼 수 있죠
그리고 진동발산 말고도 x^(1/3) 같은 함수 이용하면 존재성의 문제가 아니라, 도함수 극한을 사용했을 때 '아예 다른 값'이 나오게도 할 수 있습니다 처음 보면 굉장한 충격이죠
궁금하신 분은 핀셋 n제 시즌2 미적분 23을 참조...
!=