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[Crux] 환동 [925060] · MS 2019 (수정됨) · 쪽지

2023-12-04 13:34:19
조회수 12,098

현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (2)

게시글 주소: https://io.orbi.kr/00065549017

안녕하세요 [Crux] 환동입니다.

2편에서 국어/수학 표준점수 산출 원리에 대해서 소개하고, 산출 공식을 Ax + By + C로 간략화 시킬 수 있다는 점까지 말씀드렸습니다. 오늘은 Ax + By + C를 가지고 재미있는(?) 분석을 해보려고 합니다.

이번 시리즈는 앞편 내용이 계속 이어지는 형태이기 때문에 1~2편을 꼭 정독하고 오셔야 합니다.

(전편에서 이해하기 힘들다는 의견이 많아서, 이번 편에서는 중요한 부분에는 초록색으로 강조 표시했습니다. 다 읽기 싫으신 분들은 초록색만 대충 읽고 지나가시면 좋을 것 같습니다.)


1편 (표준점수의 원론적인 이야기) : https://orbi.kr/00065483107

2편 (현행 국어/수학 표준점수 산출 원리(1)) : https://orbi.kr/00065499809



Ⅰ. 표준점수 계산식의 간략화 


제가 2편 마지막 부분에서 표준점수 산출식이라면서 무시무시한 수식을 보여드리면서, 이것을 다음과 같이 간략화 시킬 수 있다고 말씀드렸습니다.

이 공식은 굉장히 직관적이고 이해하기 쉽습니다.

(1) 공통과목 원점수(x)가 1점 증가할 때마다 표준점수가 A점 증가

(2) 선택과목 원점수(y)가 1점 증가할 때마다 표준점수가 B점 증가

(3) x=y=0일 때 S=C이기 때문에 C는 원점수 0점일 때의 표준점수 (기본 표준점수)


그래서 이번 시간에는 위의 A, B, C의 정체가 무엇인지, 어떻게 해야 저것들이 높게 나오는지를 좀 설명해드리려고 합니다. 이번에도 내용이 좀 어렵고 수식이 많을 것 같지만 잘 따라와주시기 바랍니다.



Ⅱ. A의 특징


공통과목 원점수 1점당 표준점수가 A점씩 오른다고 했는데, 그렇다면 A는 어떤 기준으로 산출될까요?

A를 구하는 공식은 다음과 같습니다.



국어에서와 수학에서 분자가 약간 다른데, 이건 국어와 수학 공통과목 만점이 각각 76점과 74점으로 달라서 그렇습니다.

그래도 A는 굉장히 이해하기 쉬운 편인데, 관여하는 통계량이 '공통과목 표준편차'밖에 없기 때문입니다.

A는 공통과목 표준편차에 반비례한다는 것을 알 수 있습니다. 여기서 뽑아낼 수 있는 결론은


공통과목 표준편차가 클수록 A가 작아지기 때문에, 공통과목 원점수 1점당 얻을 수 있는 표준점수가 작아진다.


라고 할 수 있습니다. 참고로 공통과목 표준편차는 뒤에 설명할 B에도 반비례하기 때문에, 공통과목 표준편차가 크면 여러모로 높은 표준점수를 기대하기 어렵습니다.



참고로 이 A는 당연히 어떤 과목을 선택하든 값이 다 똑같습니다. 제가 크럭스 테이블에서 표준점수 공식 올릴 때, x의 계수는 항상 똑같이 맞춰놓는데, 관여하는 통계량이 '전체 응시자 대상'으로 산출한 공통과목 표준편차밖에 없기 때문입니다.



위와 같이 국어는 화작을 선택하든 언매를 선택하든 똑같이 1.046으로 맞춰져있고

수학은 확통, 미적, 기하 상관없이 똑같이 0.815로 맞춰져 있죠

표준점수 산출식 특성상 A는 선택과목마다 값이 다를 수 없기 때문에 일부러 똑같이 맞춰놓는 것입니다.




Ⅲ. B의 특징


다음은 B에 대해 설명하겠습니다. B는 A보다 조금 더 복잡합니다.



A와 달리, B에서는 j라는 첨자를 붙였는데

선택과목 무관하게 값이 다 똑같은 A와는 달리 B는 어떤 선택과목을 선택했느냐에 따라 값이 달라지기 때문입니다.

굳이 많은 알파벳 중에 j를 쓴 이유는 평가원 안내 책자에도 선택과목을 j로 표현해서...

어쨌든 이게 중요한게 아니고 특징을 좀 관찰해볼까요?


수식을 보아하니 B는 

'자신이 선택한 선택과목 집단'의 공통과목 표준편차에 비례

'자신이 선택한 선택과목 집단'의 선택과목 표준편차에 반비례

합니다.


그러니까 


내가 선택한 과목 애들이 

공통과목 표준편차는 높이고, 선택과목 표준편차는 낮춰야 저 B라는 놈이 크게 나온다


는 뜻이죠.

선택과목 체제를 팀전이라고 하는 이유가 분명하게 보이죠?


여기에 더해서, B는 A에도 비례합니다. 수식에 A도 나와있는걸 보면 알 수 있죠.

따라서 A 값이 클수록 B 값도 크다는 것을 알 수 있습니다.




B는 평균이 아니라 표준편차가 관건이기 때문에, 시험 상황에 따라서 미적분, 기하가 확통보다 낮게 나올 수 있습니다.

참고로 이때 미적분 B가 낮았던 이유가 29번 정답률이 이례적으로 60%대를 찍어서 선택과목 표준편차가 커지지 않았을까... 라는 추측을 해봅니다.



Ⅳ. 공통 맞힌거 vs 선택 맞힌거 어떤게 유리?


아마 이 글 보시는 여러분 대부분은 '같은 원점수여도 공통+선택 점수 조합에 따라 표준점수가 다르다'라는 사실을 알고 계실 것 같습니다. 

그런데 여기서 자주 퍼지는 낭설이 '무조건 공통과목을 잘 봐야 표준점수가 높다'인데... 아닙니다. 이건 시험 상황에 따라 다릅니다.

때로는 선택과목을 더 많이 맞히는게 유리할 수도 있는데, 그렇다면 공통과목을 더 맞히는게 유리한 경우가 무엇이고, 선택과목을 더 맞히는게 유리한 경우는 무엇인지 지금부터 살펴보겠습니다.


제가 첫번째 파트에서 이런 말씀을 드렸죠.

(1) 공통과목 원점수(x)가 1점 증가할 때마다 표준점수가 A점 증가

(2) 선택과목 원점수(y)가 1점 증가할 때마다 표준점수가 B점 증가

라고 했습니다. 그러면 이 A와 B 가지고 설명을 하자면 답은 간단합니다.


A와 B를 대소비교 했을 때

A가 더 크면 공통과목을 많이 맞힐수록 유리

B가 더 크면 선택과목을 많이 맞힐수록 유리

합니다.


그러면 A가 더 크게 나올 조건은 무엇이고, B가 더 크게 나올 조건은 무엇일까요?

이것은 아까 제가 소개한 B 산출식에 답이 있습니다.



위 수식에서, 

네모 친 부분이 1보다 작으면 A가 더 크고 (즉, 공통과목 많이 맞힌게 유리)

네모 친 부분이 1보다 크면 B가 더 큽니다 (즉, 선택과목 많이 맞힌게 유리)


예를 들어봅시다.



어떤 가상의 시험에서, 표준편차가 위와 같이 나왔다고 합시다.

그렇다면 위 수식에서 빨간색 네모로 표시한 부분을 계산했을 때, 화작, 확통은 값이 1보다 작습니다.

그런데 언매, 미적분, 기하는 값이 1보다 크게 나왔죠.


따라서 화작, 확통은 공통과목을 많이 맞힐수록 유리하고

언매, 미적, 기하는 선택과목을 많이 맞힐수록 유리하게 됩니다.



공통, 선택 중 어떤걸 많이 맞히는게 유리한지는 의외로 평균과는 관련이 전혀 없습니다. 

오직 표준편차에 따라서만 결정됩니다.



Ⅴ. C의 특징


지금까지 표준편차 얘기만 실컷했죠?

"아니 그러면 평균은 하는 일이 없습니까?"

라는 생각을 하실 수도 있는데, 평균이 드디어 여기서 나옵니다.

C 공식을 살펴봅시다. (가장 복잡합니다.)



국어, 수학 따로 써야하는거 좀 그렇네요. 안 그래도 뒤로가기 누르는 사람 많을 것 같은데...


위 공식에다 뭐 값을 대입해보거나 이런 짓은 안할거구요

특징만 대강 살펴보도록 합시다.


먼저 이 부분을 살펴보면, 

공통과목 평균이 높을수록 C값이 작아집니다.

하지만 '우리 팀'의 공통과목 평균은 더 높을수록 C값이 커집니다.

그러니까 전체에서 산출한 통계량인지 우리 팀 내에서 산출한 통계량인지가 꽤 중요합니다..

표준편차도 전체에서 산출한거면 클수록 안 좋지만, '우리팀'에서 산출한거면 클수록 좋은거라고 말씀드린걸 기억하실지 모르겠는데... 여튼 평균이든 표준편차든 전체에서 산출한건 작아야 좋은거고, 우리팀 내에서 산출한건 커야 좋은겁니다.



하지만 공통과목 평균 높으랬더니 청개구리마냥 선택과목 평균이 높다면?

'우리 팀'의 선택과목 평균이 높으면 C값이 작아지게 됩니다.


그리고 A와 B가 클수록 C는 오히려 작아집니다.

그러면 "A와 B가 너무 크면 오히려 손해 아닌가?" 궁금해 하시는 분들이 계시겠죠.


만약에 

공통과목을 잘 본 경우에는, C가 좀 작아지더라도 A가 커져야 이득이고

선택과목을 잘 본 경우에는, C가 좀 작아지더라도 B가 커져야 이득입니다.


물론 둘 다 잘 보신 분은 둘 다에 해당하겠고, 둘 다 못 보신 분들은 둘에 모두 해당하지 않겠죠.

이건 개인 성적에 따라 다르게 받아들여야 할 부분이라 딱 잘라 말씀드릴 순 없습니다.


C는 사실상 모든 통계량이 얽혀있는 상수라서, 가장 이해하기 어렵습니다. 그만큼 팀전 효과를 가장 크게 유발시키죠

깊게 파고 들어가면 너무 복잡하고 사실 거기까지 알 필요도 없기 때문에, 그냥 어떤 조건에서 C가 커지고 작아지는지만 간략하게 말씀드렸습니다.


이번에도 9월 모의평가 공식을 가져오면서 C값을 한번 비교해보도록 하겠습니다.


C값은 대부분

국어는 화작 < 언매

수학은 확통 < 기하 < 미적

으로 나오는 경향이 있습니다. (물론 아닐 때도 꽤 있기는 해요)

아까 '우리 팀'의 공통과목 평균이 높아야 C값이 커진다고 했는데, 아마 그게 가장 크게 영향을 미치지 않았을까 싶네요...

이렇게 0점이어도 어떤 과목을 선택했느냐에 따라 표준점수가 달라지는 일이 발생할 수 있습니다.




제가 기말고사 시즌이라 많이 바쁩니다. 그래서 빨리 쓰려고 하다 보니까 글에 문제가 좀 있을수도 있습니다. 뭔가 문맥이 이상하거나 이해가 안된다 하는 부분이 있으면 댓글로 말씀해주시면 정정해드리도록 하겠습니다.


* 사탐/과탐 크럭스 테이블 D-3 (목요일)


[1편] 표준점수에 대한 원론적인 이야기

[2편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (1)

[3편] 현행 국어/수학 표준점수 산출 원리 (2)

[4편] 2024수능 미적분 만점 표준점수 계산 시뮬레이션




 

크럭스컨설팅 12월 11일(월) 올해 마지막 정시예약


취소분 등의 올해 마지막 정시상담 예약 : 12월 11일 월요일




크럭스상담 우선권을 부여하는 예약신청서 작성 : https://zrr.kr/nERp 


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