칼럼8) 적분의 기하적 해석

뭔가 기하적으로 볼 수 있을 것 같은데 답지는 죄다 수식적으로 적혀있고... 

그래서 기하적으로 보고 싶은데 잘은 모르겠고...

그런 분들을 위한 퀄리티 있는 칼럼입니다.

함수의 확대축소, 그 속에서 다양한 방식으로 적분 읽어내기 등을 다뤄볼게요.

가독성 높게 썼으니, 휙휙 넘기면서 읽으실 수 있을거에요!

우선 쉬운 것부터 가볼게요.

수식적으로 접근을 해볼 수도 있겠다만... 기하적으로 한 번 봅시다. 

 f(x)가 대충 다음과 같이 생겼다고 합시다.0부터 a/2까지의 적분값은

이 면적을 의미하겠네요.

f(a-x)도 해석을 해봅시다. 이 함수는 f(x)를 x=a/2에 대해 선대칭한 함수입니다. 따라서 다음과 같이 그려집니다.

이 놈의 0부터 a/2까지 적분값은

여기에 해당하는데요, 아까 칠한 빨간색과 같이 둬봅시다.

신기하게 딱 맞아 떨어져서 f(x)를 0부터 a까지 적분한 것과 값이 같아지겠네요. 

이 식이 기하적으로는 이런 의미였던 겁니다. 근데 하필 구간이 이렇게 딱 맞아떨어진다는 걸 식을 보고 어떻게 알 수 있을까요? 당연한 거 아니냐는 생각이 드신다면...

이 식을 한 번 봅시다. 얘도 구간이 딱 떨어질 거라는게 바로 보이시나요?!

아까와는 달리 이 경우엔 안 보이는 분들도 있을 것 같습니다. 그래서 이걸 해석하기 전에, 우선 구간에 대한 대략적인 느낌을 

이 예시를 통해 잡아볼게요. 적분구간에 있는 숫자 위끝, 아래끝을 함수 안의 x에 넣어보는 겁니다.

f(x)의 경우에는 당연한 소리네요. f(a-x)에도 넣어봅시다.

음 근데 약간 문제가 생겼어요. 적분은 방향도 중요하잖아요? x=a부터 x=a/2까지라면...

적분이 저 하늘색 방향으로 진행되는 거고, 그렇다면 적분값은 음수여야 해요. 오른쪽으로 진행하는 건 양수, 왼쪽으로 진행하는 건 음수니까요. 

...는 오해에요! 여전히 적분값은 양수로 나옵니다. 아니 구간이 왼쪽으로 진행하는데, 어째서 양수가 나오는걸까요?

비밀은 여기 x의 계수에 있습니다. x의 계수는 적분 속도를 의미해요.

속도는 속력의 개념과 함께 방향성의 개념도 가지고 있죠. 

음수라는 건 해당 구간을 반대로 가라는 겁니다. 따라서 a에서 a/2로 진행되던 구간을, x의 부호 -1에 의해 다시 거슬러서 a/2에서 a로 가게 돼요. 

아직 '적분속도'라는게 완전히 와닿지는 않으실 수 있습니다. 좀 더 감을 잡기 위해 우리에게 익숙한 예시인 sin함수를 데려올게요.

y=sin x와 y=sin 2x입니다. sin2x는 sin x에 비해 진행속도가 2배 빨라요. 원래 d를 넣어야 나오던 값이 d/2만 넣어도 나오는 셈이죠. 진행속도가 빠르므로 함수는 축소됩니다. 

이와 관련해서 적분값 정보도 끌어낼 수 있습니다.

이 부분 넓이는 2인건 다들 알고 계실거에요. 얘를 반으로 축소한다면?

넓이는 1이 돼요. 

이게 직사각형이나 삼각형 같은게 아니라 곡선에 대한 넓이인데, 함부로 반이라고 해버려도 되냐? 라는 의문이 생길 수 있습니다. 이에 대해서는 조금 뒤에 다뤄볼게요. 일단은 반이 된다는 사실 자체에만 집중해봅시다.

지금 이거 두 개를 비교하는 중인거죠. 앞서 보여드린 '위끝과 아래끝을 함수 x자리에 넣어서 구간에 대한 느낌잡기'를 여기다가도 해보면 둘 다 0부터 파이까지 같은 구간을 말하고 있다는 걸 알 수 있습니다. 그런데 오른쪽 놈은 x앞에 계수 2가 붙었으니 2배 빠르게 진행되는 것이고, 적분값도 반이 되는거죠. 

이걸 일반화해보겠습니다. 수식적으로 받아들이기보단, 해석적으로 '아 일단 관찰구간이 같은데, 오른쪽 놈이 n배 빨리 진행된거니까 넓이는 1/n배 됐겠구나. 그럼 n배를 해줘야 원래 넓이랑 같아지네'  를 자연스럽게 연상하는 쪽을 추천드립니다. 

수식적으로 본다면 치환적분이랑 다를 게 없어요.

이쯤하면 '적분속도'가 뭘 말했던 건지 느낌이 오셨을 거라 생각합니다.

이제 처음 문제로 돌아가볼게요.

지금까지 이 식을 '잘' 읽어내기 위해 달려왔던 겁니다.

그럼 알려드린 내용을 한 번 적용해볼게요.

구간을 관찰해보니 f(x)는 뭐 써 있는 그대로 받아들이면 될 것 같구요,

f(a-2x)는 x자리에 0하고 a/3을 넣어본다면 각각 f(a), f(a/3)이 되네요.

a부터 a/3까지 f(x)의 적분값을 의미하는데, 적분속도가 -2이므로 

해석해보자면 a/3부터 a까지 f(x)의 적분값을 반띵한 값이 나오겠네요. 거기에 2배를 해주면 식이 딱 맞아떨어지겠죠. b는 2입니다.

좀 더 기하적 느낌이 나게 접근해볼 수도 있습니다.

그러기 위해서는 f(a-2x)와 f(x)는 무슨 관계인지 파악이 되어야 합니다.

f(a-x)는 f(x)를 x=a/2에 대해 선대칭시킨 함수고, f(a-2x)는 f(a-x)를 2배 축소시킨 함수니까

각각 이런 느낌으로 그려지네요. 

얘는 위 그림에서 이 영역을 의미하는데요, 이때 a/3은구간의 2대 1 내분점입니다. 따라서 원래 f(x)의 다음 넓이와 대응돼요.

좀 더 엄밀히는 이 넓이의 반이겠죠. 그래서 b가 2가 될 때, 딱 맞아떨어지는 것이구요.

중요한 점은, '어라 그려보니까 우연히 관찰하는 부분이 딱 맞아떨어지네?' 가 아니라는 겁니다.

이 식에서 위끝 아래끝을 넣어봤을 때 관찰하는 구간이 연속적으로 이어진다는 걸 '처음부터' 바로 체크할 수 있다는 것이죠.

함수의 확대축소가 익숙해야 합니다. 삼각함수나 지수함수에서 정말 많이 쓰이고, 지금껏 본 것처럼 적분에도 활용할 수 있어요. 풀지는 않을건데, 일단 아래 문제를 보시겠습니다. 

2022학년도 (2021년 시행) 대수능 30번 문항입니다. 여기서 f와 g 개형 추론을 해갈 때, 함수의 확대축소가 익숙하다면 수월하게 끝낼 수 있습니다. 또, 마지막 계산 때도 치환적분 없이 해결할 수 있습니다. 

'스킬을 써서 치환적분을 안 할 수 있다'라기보단, '원래 치환적분을 하면 안 되는건데 확대축소 개념이 익숙하지 않아서 치환적분을 하는거다. 따라서 확대축소를 익혀야 한다'라는 의미입니다. 

문제 풀이는 이미들 아실 거 같아서 하진 않을게요. 답은 143입니다.

여기까지 읽으시느라 수고하셨습니다. 본문 중간에 '이건 뒤에서 다룰게요' 하고 넘어갔던 부분을 가볍게 소개하고, 이번 칼럼을 마치겠습니다. 

 여기 말한겁니다. 만약 이게 자명하게 느껴지신다면, 아래 내용 굳이 안 읽으셔도 돼요. 좋아요 눌러주시고 갈 길 가셔요(?)

직사각형의 경우에는 높이는 그대로고 밑변을 반으로 축소한다면 전체 넓이는 반이 됨이 자명하죠. 근데 이 느낌을 곡선에도 적용할 수 있냐라는 의문이 드실 수 있습니다. (실제로 받았던 질문입니다.)

저는 아직 고등학교 수학까지만 이수했기 때문에 아래 내용이 원론적으로 맞는 말인지는 모르겠으나, 느낌을 잡는데에는 문제 없을겁니다. 질문했던 친구에게도 이거로 설명해주니까 넓이가 반이 된다는 걸 바로 받아들이더라구요. 이 설명은 목적 자체가 '직관적으로 느낌을 가져보기' 이지, '수학적으로 깊고 정확하게 파고들어보기' 가 아닙니다.

인테그랄 기호를 관찰해보겠습니다.

이 dx가 그냥 쓰는게 아니라, 의미를 가지고 있어요.

(유튜브 3blue1brown 님의 영상 중 한 장면입니다. 출처 링크는 아래 남길게요.)

적분하고 싶은 구간을 이 그림처럼 직사각형으로 나눌 수 있는데요, 밑변 길이를 0에 가깝게 하면 수많은 직사각형으로 나눠질 거고, 이 때 f(x) 즉 함숫값은 높이역할을 하게 됩니다. 그리고 인테그랄 기호에서 dx는 밑변의 의미를 가집니다. 즉 f(x)곱하기 dx가 얇은 하나의 직사각형의 넓이를 의미하는거죠. 이처럼 곡선 넓이 역시 수많은 작은 직사각형의 넓이 합으로 표현됩니다. 

아까 나왔던 sinx와 sin2x에도 직사각형을 그려볼게요.

sinx에 그려진 직사각형의 개수를 유지하여 sin2x에 우겨넣는다고 치면, sin2x에서는 그 모든 직사각형의 밑변 길이가 반이 되어야 겠죠. 한편 높이는 그대로이므로 전체 넓이는 절반이 됩니다.

... 딱봐도 굉장히 위험해보이죠? 직사각형은 무한히 많고, 밑변은 0에 가까운데 이 짓을 적용해도 되는지 의심이 듭니다. 근데 함수의 확대축소시 적분값 변화를 수식적으로만 이해하는거보다, 시각적으로 자연스럽게 받아들이고 있어야 언제든지 잘 적용할 수 있다고 생각해서 위험을 무릅쓰고(?) 소개드렸습니다ㅋㅋㅋ

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