[수학칼럼] 증명을 공부하는게 고난도 문제 풀이에 도움되는 이유
게시글 주소: https://io.orbi.kr/00054696644
안녕하세요. 상승효과 이승효입니다.
작년에 올렸던 칼럼인데
최근에 증명에 대한 질문을 몇번 받아서
다시 올려드립니다.
Q. (학생의 질문)
"증명하는 과정이 수학에서 고난도문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하나요?"
A. (이승효의 대답)
증명이라는 것은, 교과서에 나와 있는 어떤 정리가 참이 되는 이유입니다. 예를 들어, 피타고라스 정리가 있죠. 그게 참인 이유가 증명이에요. 이걸 배우지 않은 상태에서 혼자서 증명하는 것은 어렵습니다. 증명은 과거에 누군가 엄청나게 똑똑한 사람이 한 것이기 때문에, 그걸 우리가 짧은 시간안에 떠올린다는 것은 어렵겠죠. 그러한 증명이 꼬리에 꼬리를 물고 연결되면서 수학이 발전해 온 것이고, 고등학교 교과서는 그러한 연결에 의해서 만들어진 유기적인 내용입니다. 예를 들어, 수학1, 수학2, 미적분 순서대로 이어지는 것에는 다 이유가 있는 것이죠.
증명하는 과정이 수학에서 고난도 문제를 대할 때 어떤 효력을 발휘하는가. 고난도 문제를 풀어봤다면 알겠지만 여러가지 발상들이 필요합니다. 도형문제라면 어떠한 상황에서 보조선을 어떻게 긋는다, 함수의 식이 주어졌다면 어떻게 한다, 등등. 문제만 풀어온 학생이라면 이러한 발상을 문제를 풀어야 배울 수 있는 거라고 생각하겠지만, 사실 수능에 나오는 모든 발상은 100% 교과서 증명 안에 다 들어있습니다. 그것을 바탕으로 수능 문제를 출제하니까요.
제가 전에 쓴 글에서 미분을 MRI에 비유했는데, 글 중간에 보면 MRI검사를 수백명 해보면서 인체의 신비를 깨달아가는건 어려운 일이라고 했죠? 증명을 배운다는 것은 마치 살아있는 인간을 배우기 전에 해부학을 배운다는 것과 같습니다. 이미 과거에 다른 사람들이 발견한 정보들을 바탕으로 교과서적인 원리들을 먼저 배우는 것이지요. 따라서 교과서 정의, 정리, 증명에서 배운 내용을 바탕으로 기출 문제를 풀게 되면, 문제마다 새로운 것을 배우는 것이 아니라, 문제를 풀면서 교과서 내용을 확인하게 되는 것이지요. 그러한 과정을 기출 분석이라고 합니다. 따라서 기출을 보기 전에 교과서 내용을 정확히 알고 있는건 매우 중요해요.
증명을 해야 하는 두번째 이유. 학생은 미분가능한 함수는 연속함수이다 라는 것을 증명할 수 있나요? 이건 실력지상주의 1주차에서 수업한 내용인데요. 대부분의 학생은 이걸 증명할 수 없습니다. 왜냐하면 미분가능한 함수와 연속함수의 정의를 정확히 모르거든요. 느낌으로만 알고 있고 식으로 정확히 표현할 수 없다면, 매우 쉬운 한줄짜리 증명임에도 불구하고 할 수 없습니다. 그럼 정의를 알고 있는 것이 왜 중요한가, 예를 들어 어떤 함수가 미분가능함을 보여라, 라는 문제가 있을 때 대부분 학생은 1.연속이다. 2.좌미분계수=우미분계수가 같다. 라는 순서대로 문제를 풉니다. 이건 아주 대표적인 잘못된 풀이라고 할 수 있는데, 정의를 잘 모르기 때문이구요, 저렇게 풀리는 3점짜리 문제는 문제가 없는데 4점짜리 문제로 가게 되면 해결이 안되는게 생겨요. 문제풀이의 접근방법은 반드시 정의->정리 순서대로 나아가야 하는데,오개념으로 풀다보면 접근 자체가 안되는 경우가 생깁니다.
증명을 해야 하는 세번째 이유. 직접 증명을 써보면 알겠지만, 아는 내용이라도 논리적으로 설명하는 것이 쉽지가 않습니다. 그건 학생들이 아직 논리적 사고력 또는 표현력이 부족하기 때문이죠. 교과서에 있는 증명들은 매우 간결하면서도 논리적입니다. 복잡한 증명은 고등학교 교과서에 나오지 않기 때문에 누구나 이해할 수 있는데, 그걸 자신이 직접 해보는건 쉽지 않아요. 강사가 설명하는 내용을 들으면 이해는 되지만 똑같이 설명해 보라고 하면 쉽지 않은것과 같은 이유입니다. 즉, 논리적 사고력을 키운다는 것은 다른게 아니고, 연습입니다. 수학은 그것을 연습하는 학문이에요. 고등학교를 졸업하면 미적분이 쓸모가 없을 수도 있고 대부분의 성인은 수학을 잊어버리지만, 중학교까지만 다닌 사람과 고등학교까지 수학을 배운 사람이 논리적 사고력에서 차이가 나는 것은 수학적인 연습을 했기 때문입니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
댓글썻다지우면 뭐라썻는지 병적으로 궁금해하는데 개궁금함지금 뭐라썻다지움
-
ㅋㅋㅋ.. 수학 1컷이라고 바로 나락..
-
ㅈ반고인데 어떤 주워들은 거만 많은 새기가 로피탈 퍼뜨려서 공부 안하는 애들도 누구...
-
보통 상수 a를 주고 ~인 b의 최댓값을 구하라고 하는데 ~인 b의 최댓값을 주고...
-
essence 08] 시제, 태, 법과 주어의 수를 술어가 표현해야 하는 이유와 방법을 이렇게 이해하세요. 0
술어의 형태를 단순하게 암기하기 보다는 술어가 동사 의미 이외의 추가 정보를...
-
學生本分書談乎?
-
사인/코사인 반각공식에서는 제곱형이라서 루트로 다시 바꿔주면 +나- 라서 확정할 수...
-
당연히 이감이겠지해서 파이널 학원용으로 질렀는데 진짜 파이널 하나같이 안미친게 없네...
-
아니라고 믿을게요 그냥 다 제 잘못인 거임뇨 ㅇㅇ
-
4수하고 보니까 9
내년에 4학년 되는 00년생입니다 편입 생각이 들어 몇년간 놓은 공부 다시...
-
궁금한거 답변해줄게
-
수학 노베가 13
수학 노베가(고1 3월 3등급이고,고2 3월은 4등급,) 지금부터 하루 12시간씩...
-
반수하려면 넓고 평평한 대학으로 선택하십쇼
-
상크스듣는데 A세포와 B세포중 하나이다 중복가능인경우 있었나요..?
-
어제 아웃백 감 8
-
확통 29 30 다 맞을 때도 있고 하나 틀릴 때도 있슴..
-
미적 공부 조언 1
미적을 진짜 못해서 서바나 실모 등등 풀면 29번 등비급수만 그나마 풀고 2830은...
-
실모 풀때 a4로 푸시나요? 아님 제본해서 푸시나요?? 3
물론 실모 다 샀습니다 궁금해서 ㅎㅎ..
-
유치원 초등학교 중학교 같이 나왔고, 게다가 바로 옆 아파트인 제...
-
2~3일 안 했다고 감이 약간 사라짐 언어계열은 매일 꾸준히 하는 게 맞음
-
오늘의공부 1
국어:비문학 사설2지문 기출1지문 문학 기출3지문 언매하프모 한세트 영어:하프모...
-
현재 기출 다 끝내고 수특수완 완료했는데 인강없이 문제와 해설로 볼 수 있는 문제집...
-
우흥 우흥
-
오늘 야식은 볼케이노 치밥으로 간다
-
호감고닉
-
과제해야하는데 2
동기부여좀.
-
일단 손떨려서 치킨 시켰오
-
영어 3으로 괜찮다는건 공대얘기고 문돌이는 영어반영비 높은 데 많네
-
그럼 이제 할 수 있는 게 없잖아 미진학은 생각해 봐야 할 문제라 해도 정신과 검사...
-
공부하기싫다 1
오늘 공부량 개적네 몰라 오늘은 여기까지
-
내신때 빡세게 해서 기억이 좀 남아있긴함 평가원은 다 1이었고 더프는 1-2...
-
질문 해줌. 14
비용은 1000덕코. 질문 받기도 하는데 비용은 동일.
-
사람들 있다했을때 난 이해도 못했고 믿지도 않았는데 이런 사람이 많다는걸 깨달음...
-
군수로 연고경 쟁취 ㄱㄴ?
-
내일 치아교정 상담받으러 가는데 교정 많이 아픈가요?
-
낮3 나오는데 28~30 푼 적이 거의 없어요... 6,9모 둘 다 29번만 풀고...
-
'안되'는 없는 말이고 '사궈'는 ㅅ~ㅂ 어디서 튀어나온 말이냐 맞춤법파괴자하고...
-
전 항상 열려있습니다 27
공부 질문 수시 정시 모두 가능 문제 질문 수학 국어 영어 물1 생2 가능 카투사...
-
성한 인문, 건동 높공 성적인데 시립 이따위로뜸..
-
2(96) 2(95) 2 2(95) 2(95) 뜨면 가능?
-
한학기 150만원 따리 과외면 이득이려나
-
뭔가 체감이 생명 유전 푸는거 같냐 ㅋㅋㅋ
-
ㅈㄱㄴ
-
...네. ㅋㅋㅋ 개천절이라고 신나서 외식하고 뒹굴거렸네요 ......
-
어삼쉬사는 예에전에 했는데 4규 풀어볼까요
-
5등분은 잼있게 봤는데 비슷한가
-
일본어 4
배워야겠지...? 웃긴 게 중국어 표지는 이럼
-
국어 실모 풀다가 언매에서만 3개 틀리는 ㄹㅇ사고가 나서 멘탈이 개털렸는데 취약점...
-
“그래서엑셀딸깍하면되는게왜이렇게오래걸리냐고“
-
내년에 의대가면 6
내년에 의대가면 힘들어질까요? 인서울 의대는 쫌 낳으려나요?
어떤 교과서로 증명을 연습해야 되나요?
증명은 부차적인 것이 아니라 교육과정에서 반드시 알아야 하는 내용이기 때문에, 중학교부터 고등학교까지 모든 교과서에는 같은 증명이 포함되어 있어요.
감사해요 선생님! 하나만 더 여쭙겠습니다ㅠ
미적분인데 수학,미적분,수학1,수학2 찬찬히 읽고 증명연습할 생각인데 더 해야할 교과서 있을까요? 아니면 4권도 충분하다 보시는지요~?
도형은 중학교 교과서도 봐야 합니다. 어렵지는 않으니까 금방 끝나요~