[박재우T] 다르부 정리와 도함수의 연속성
게시글 주소: https://io.orbi.kr/00039765358
안녕하세요 박재우 T입니다.
라스트 스퍼트 강의 시작했습니다.
저를 아는 학생들 모두 라스 선택하면 후회없을 거라 확신합니다.
열심히 달려봅시다.
이제 본론으로 들어가서
이전에 한 번 언급했던 적이 있었습니다.
도함수가 연속인지 아닌지 모르는데 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있느냐는 문제입니다.
결론부터 얘기하자면 쓸 수 있다 입니다.
물론 이와 같은 주제와 연관된 과거 기출문제는 수업시간에 다루면 안되겠죠 ?
당위성을 위해서 설명해야 하는 것이 대학과정 개념이라면 출제해서는 안됩니다.
그냥 쓸 수 있다라고 단정하고 지나가는 것도 물론 안되구요.
그래서 저는 강의에서 롤의 정리에 대해 많이 강조합니다.
암튼
도함수가 불연속일 수 있음에도 도함수에서 사잇값 정리를 쓸 수 있다는 것을
가능하게 해주는 것이 바로 다르부 정리입니다.
한 번 알아보도록 하죠.
우선 함수 중에서 미분가능하지만 도함수는 불연속인 함수로 거론되는
대표적인 함수가
입니다. 이 함수는 x=0에서 미분가능하지만 도함수는 x=0에서 자명하게 불연속입니다.
이 함수의 경우처럼 도함수가 불연속인 함수는 사잇값 정리를 도함수에서 제약없이 막 쓸 수가 없겠죠
이제 다르부 (Darboux) 정리에 대해 알아봅시다.
<Darboux 정리>
함수 f(x)가 폐구간 [a, b]에서 미분가능하고 구간 양 끝점인 a와 b에서의 미분계수가 다르면
f'(a)와 f'(b) 사이의 임의의 값 k에 대해서 f'(c)=k 를 만족시키는 점 c가 개구간 (a, b)에서 존재한다.
아래 부분은 스킵해도 됩니다. 관심있는 분들만 보셔도 됩니다.
이제 증명 한 번 해보면
인 경우를 생각해봅시다.
폐구간 [a, b]에서 정의된 함수
라 정의하면 명백히 g는 폐구간 [a, b]에서 연속이면서 미분가능합니다.
그러므로 연속성의 정리에 따라 g는 [a, b] 위에서 최솟값 g(c)를 갖습니다.
즉, [a, b] 에서의 모든 x에 대하여
를 만족시키는 c가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
그런데.
이 되므로 함수 g(x)는 x=a에서 감소상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 d가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다. 이제 마찬가지로
이 되므로 함수 g(x)는 x=b에서 증가상태에 있습니다. 그러므로
를 만족하는 점 e가 폐구간 [a, b]에서 존재합니다.
따라서, 점 c는 개구간 (a, b)에서의 원소이고 구간에서 g(c)는 최솟값이므로
구간 내에서 극대, 극소를 갖고 미분가능하면 자명하게
즉,
입니다. 같은 방법으로
도 증명해볼 수 있습니다.
이러한 이유로 정의한 구간 내에서 f의 도함수가 연속함수가 아닐 지라도 연속함수의 경우와 마찬가지로
f의 도함수에 대한 사잇값 정리가 성립함을 알 수 있습니다.
머가 먼지도 모르겠고 그냥 그렇다고 하니깐 쓰자라는 것 보다는
아예 애시당초 이런 문제는 안 내는 것이 상책이라 생각합니다.
그래서 롤의 정리가 수능에서는 더욱 더 깊이 있게 다가오는 것이 아닐 까 생각합니다.
물론 요즘은 잘 안나오는 주제이긴 하지만서두요.
아래 기출 문제를 한 번 봅시다.
다들 아시겠지만 여기 ㄷ지문은 롤의 정리가 더 좋지 않을까요 ?
두서없는 글 죄송합니다.
0 XDK (+0)
유익한 글을 읽었다면 작성자에게 XDK를 선물하세요.
-
대단하다
-
요즘 독감 조심해라 ㄹㅇ 난 예방접종 맞앗음 현대의학의 산물 ㄹㅇ
-
밥먹고 나서 보는 시험만 박살내는 제가 증인임요..
-
이해가 안가네
-
벌써 네시… 6
잠깐이지만 즐거웠어요
-
엔비 개잡주 4
ㅆㅂ
-
그 십주파 시즌 생각하면 토 나와서 다시 할 엄두가 안 남 그 땐 주말에 푹...
-
그래서인지 대치동에서 밥먹는 기억이 좃도없음 시대 밥 먹다가 개빡쳐서 탈주한 기억은 있음...
-
진짜 자야겟다 9
눈이 감겨 바이바이
-
하..
-
네 메뉴에 있습니다 당근케이크
-
안녕하세요 2025학년도 첫 수능을 치르고 이제는 대학생이 되는 05년생입니다....
-
뻥이에요..
-
2016년인가 2017년인가 되게 ㅈ만헌 학원이었는데 언제 일케 커졌노
-
새내기분들 1
요즘 뭐하시나요? 계속 노니까 할 게 없...
-
국어 메모 밑줄 동그라미 하지 말란 강사들한테 의문인게 5
수능국어가 행동을 통제해서 되는 시험이냐와는 별개로 왜 굳이 인지적 부담을...
-
삼관왕 0
옯찐따 현생찐따 인터넷찐따
-
논술과외 가격 0
작년에 9월부터 11월까지 단기로 논술과외 받았는데 1회에 30만원 (2시간...
-
나이 존나 먹었네
-
-
나처럼됨ㅋㅋ
-
원래 안그랬는데 2020년부터 둘이서 돈 ㅈㄹ 존나하는중
-
미적분 시발점만들어도 23번~26번까지 커버가능한가요?? 2
예비고3입니당
-
얼굴 말고 커뮤말투 도플갱어나 현실말투 도플갱어
-
저는 주말에는 그래도 급식 안먹고 사보텐, 롤링파스타, 그리고 마라탕, 냉면 정도 먹은듯
-
수능 끝나고는 면접 보러 딱 한번 가봤는데 분명 12월인데 사람이 많더라고..
-
나머지는 어려워서 미적이랑 표점차 적은거지???? 제발 그렇다고 말해줘 미적선택자의...
-
자러감 2
내일 신검 받아야 해서 일찍 자야 돼
-
정벽은 걍 본인 그 자체여서 오히려 맘 먹고 따라하는게 어색하기 때문
-
예상댓글
-
-
대치동 다이소 롤링파스타 쪽 횡단보도가 ㄹㅇ 활기참 2
그립다 그리워 대치키드들은 횡단보도 건너면서 아는사람 만나던데
-
짭에 주의해주세요
-
같은 시각에 양재천만 건너면 개포동 ㅈㄴ 고요하고 울적함... 그런 분위기도 느낌있어
-
평가원 #~#
-
그래도재수할때까진독재에서여자랑연이닿았는데다음해에대학가고작년에군머가고올해까지약2년반정도...
-
프사 NTR당했어 10
...
-
대치동 미스테리 4
스트레스 프리존 운동 기구<< 대체 누구를 위한거임? 진짜 사용하는 사람 한 명도...
-
엌ㅋㅋㅋㅋㅋㅋㅋ
-
왜 메모를 하지 않는 것이지 수갑차고시험침?
-
-
인증메타인거죠? 저도 볼래요!
-
대치동 그립다
-
https://nz.sa/xAPkS
-
미적 선택한 나도 2줄이네... 빼앗긴 표점...
-
혜리 너무 이쁨
-
집근처 이투스247 있는데 불쌍함 근데 다 태블릿 뚫어서 숏츠보고 공부안하고 놀긴하드만
-
화장실 갔다오니까 아이스크림 주면서 사실 24학번이에요~ 이러니까 너무 배신감 들고...
-
궁금합니다
-
오르비 안녕히주무세요 19
저는존예미소녀에요
첫번째 댓글의 주인공이 되어보세요.