수리영역 기출문제의 논리적 접근 (함수의 볼록성)
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이번 글에서는 함수의 볼록성에 관해서 다루어보려고 합니다.
함수의 오목,볼록은 수능에서도 몇 번 출제가 됐었고, 논술과 면접에서도 많이 나왔던 소재입니다.
수능에서는 볼록 '그래프'의 특징에 대해서 묻고, 논술과 구술에서는 f''(x)>0(<0)이므로 f'(x)가 증가(감소)라는 것을 이용해
원하는 모양으로 식을 다루는 능력을 봅니다.
이를 먼저 알고서 문제를 풀어보겠습니다.
(96년 수능)
ㄱ,ㄴ을 보고서 어떻게 풀어야 하는지 바로 떠올라야 합니다.
지수/로그함수 그래프 문제에서처럼 분수식을 '기울기'로 해석하는 거였으니까요.
비록 이 문제가 훨씬 쉽지만 모두 공통된 아이디어로 진행되고 있음을 느끼셔야 합니다.
그래서 이렇게 확인하면 끝입니다.
이제 볼록성을 통한 f'(x)의 증가/감소 여부를 통해 논리적으로 풀어봅시다.
이 문제는 그냥 그래프로 주어졌지만 조건을 달자면 양수 x에 대하여 f''(x)<0, f'(0)=1 입니다.
식의 모양을 통해 어떤 함수를 가져와야 하는지는 감이 와야 합니다.
(05년 수능)
이 문제는 ㄷ보기를 잘 봐야 합니다. 일단 교과서로부터 정적분은 곧 넓이와 직결된다는 개념을 알고 있습니다.
그렇다면 부등호 오른쪽의 식도 넓이로 이해해야 두 개의 비교가 되겠죠?
이렇게 교과서로부터 알 수 있는 개념으로 문제풀이의 키를 잡습니다.
따라서 수능식 해설은 이렇습니다.
이제 논리적 풀이를 위한 아이디어를 추출해냅시다.
일단 부등식을 정리해서 우변을 (b-a){f(a)+f(b)}/2 로 만들어 봅시다.
그럼 이 식은 사다리꼴 넓이를 뜻하게 되는데, 이 때 이 부등식이 성립할 수 있는 이유는
구간 (a,b)에서 (a,f(a)),(b,f(b))를 잇는 직선이 f(x)보다 항상 위에 있기 때문입니다.
이 사실을 증명하는 것이 포인트입니다.
이 아이디어를 잘 기억해놓고 다음 문제를 봅시다.
(10년 9월 평가원)
이또한 정적분과 관련된 식을 넓이로써 이해하고 그 둘을 비교하는 패턴의 문제입니다.
그래서 수능식 해설은 이러합니다.
그렇다면 증명하는 아이디어 또한 이와 동일하겠죠?
연습 차원에서 한 번 더 연습해봅시다.
이번 글을 통해서 함수의 볼록성을 다룰 때는 f'(x)가 증가/감소함수라는 사실을 이용할 수 있고,
직관적으로 푼 풀이에서 논리적인 이유를 분석한 후, 거기서 나오는 아이디어를 그대로 증명에 적용할 수 있다는 사실을 알 수 있습니다.
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