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sos440 [104180] · MS 2005 · 쪽지

2012-03-03 14:56:43
조회수 1,003
1

대낮에 스리슬쩍 올려보는 행렬 문제.

게시글 주소: https://io.orbi.kr/0002817910

문제라기보다, 새로운 수학적 내용을 소개한다는 느낌으로 한번 구성해보았습니다.

재미있을지는 전혀 장담하지 못하겠네요.

[문제 : 행렬의 제곱근] 성분이 모두 실수인 행렬 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20\begin{pmatrix}%20a%20&%20b\\%20c%20&%20d%20\end{pmatrix}$ 가 주어져 있을 때, 다음 물음에 답하시오.

1. (난이도 하) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?p%20=%20a+d$ 와 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?q%20=%20ad-bc$ 에 대하여, 다음 등식이 성립함을 보이시오.

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^2%20=%20pA%20-%20qE$

2. (난이도 중) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?p,%20q$ 가 모두 양수라고 하자. 그리고 행렬 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ 를

$http://latex.codecogs.com/gif.latex?X%20=%20\frac{1}{\sqrt{p+2\sqrt{q}}}%20\left(%20A%20+%20\sqrt{q}E%20\right%20)$

로 두자. 그러면 다음이 성립함을 확인하여라.

(1) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?AX%20=%20XA$

(2) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X^2%20=%20A$

(3) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20kE%20\%20(k%20%3E%200)$ 이면 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X%20=%20\sqrt{k}E$

따라서 주어진 가정 하에서, A의 제곱근을 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{A}%20=%20X$ 로 정의한다.

3. (난이도 상) 행렬 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A$ 에 대하여, $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3E%200$ 인 것을 p > 0 이고 q > 0 인 것으로 정의하자. 그러면 다음을 보여라.

(1) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3E%200$ 이면 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^2%20%3E%200$ 이고 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{A}%20%3E%200$ 이다. 또한 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A$ 가 역행렬을 가지며, $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A^{-1}%20%3E%200$ 이다.
[Hint: 이차방정식 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?x^2%20-%20px%20+%20q%20=%200$ 의 두 근이 모두 양수임을 확인하고, 근과 계수의 관계를 떠올립시다.]

이제 다음 사실을 증명 없이 받아들입시다.

Fact. $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3E%200$ 이면, 다음 조건을 만족시키는 행렬 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X$ 가 유일하게 존재한다.

(i) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?AX%20=%20XA$

(ii) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X^2%20=%20A$

(iii) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?X%20%3E%200$

그리고 다음 문제를 풀어보도록 합시다.

(2) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3E%200$ 이면 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20=%20\sqrt{A^2}$ 이다.

(3) $http://latex.codecogs.com/gif.latex?A%20%3E%200$ 이면 $http://latex.codecogs.com/gif.latex?\sqrt{A^{-1}}%20=%20(\sqrt{A})^{-1}$ 이다.

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apperception · 194143 · 12/03/03 17:47 · MS 2017

우왕 이거 모범 안도 있으면 좋겠네요

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님님 · 333067 · 12/03/03 20:50 · MS 2019

소스님 제가 이런문제를 풀 능력은 안되지만 ..ㅋㅋ논술 준비하고잇는데요

1번 문제 케일리헤밀턴 정리잖아요

저 결과를 안다고 생각하고 증명해도되나요? 즉 제말은

A를 직접 케일리헤밀턴 정리에 대입해서 등식이 성립한다 라고 해도 논리적인 풀이가 될까요?

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sos440 · 104180 · 12/03/04 11:10 · MS 2005

케일리-헤밀턴 정리도, 그 수학적인 의미를 일단 걷어내고 나면 하나의 항등식에 불과합니다.

즉, 식 자체가 '직접 확인'하기에 전혀 무리가 없는 간단한 식이라는 것입니다.

그러니 제가 보기에는 굳이 교과외 과정을 끌어와서 설명하기보다 '대입해서 직접 계산해보면 참이다' 라는 식으로 설명하는 것이 훨씬 더 낫지 않나 싶네요.

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님님 · 333067 · 12/03/04 11:23 · MS 2019

감사합니다 소스님 자료 잘구경하고있어요 물론 풀진못함..ㅋㅋㅋ

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