지수함수 그래프(사진有) 질문좀 두개만 도와주세요..

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y=2^x과 y=x³의 교점의 좌표를 어떻게 구하는지요?
그래프로 나타내면 이렇게 나타낼수있고
그래프상으로는 교점이 확인이 되는데
이걸 방정식으로 서로 등식으로 놓고 풀이할때 푸는방법을 모르겠습니다.양변에 로그를 취하나요??그래도 모르겠어요..
고수님들.. 도와주세요..

또한
y=2^x과 y=x²과의 교점 좌표를 구하는방법도 모르겠어요.
그래프로 그리면 이렇게 그려지는데요.. 이것도 방정식으로 놓고 두식을 등식으로놓고
풀때 풀이법을 모르겠어요..
또한 이 방정식은 x²인 이차방정식에 관한 문제라고 볼수있는데
왜..근이 세개나되죠??
그래프에서 겹치는부분을 보면 세부분에서 겹치고있어요..
그래프 안그리고 그냥 방정식으로만 놓고 푼다면..근이 두개인줄알고 착각하기쉬울거같아요..
왜 근이 세개나 되고. 어찌구하는지..도와주세요 고수님들..선생님들...

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꿀비 · 312314 · 11/12/17 00:10 · MS 2009

저게 고등학교 과정으로는 아마 못구할걸요 정확한 근을요 고등과정으로는 그냥 x=2정도만 찍어맞출수 있고여

근이 두개냐는 질문은 방정식을 x에 대한 이차다항식으로 보셨다는 뜻인데 저건 다항식이 아니에요
2^x이 있기 때문에 다항식이라고 할수 없어요

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밝은마음 · 390888 · 11/12/17 11:06 · MS 2011

아..그렇군요..고등학교과정으로는 못구하는 그래프이군요.. 이것때문에 하루종일 머리싸매고..왜안되지?? 왜안되지?? 이러고있었어요..ㅠ 감사합니다...ㅠㅠ 밑에 sos님이 풀이해주셨어요..ㅠㅠㅠㅠㅠ감동했네요....

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sos440 · 104180 · 11/12/17 02:50 · MS 2005

꿀비님 말씀처럼, 고등학교 과정으로는 - 이라기보다, 정확히 말하자면 '새로운 함수를 등장시키지 않고는' - 저 해들의 값을 표현할 수 없습니다. (물론 그러한 증명이 되어있는지는 잘 모르겠지만, 실제로 해의 꼴을 보면 절대로 그게 가능하리라는 생각이 안 들지요.)

일단 중요하게 짚고 넘어가야 할 것이, 기본적으로 주어진 방정식들에게는 몇차방정식 이런 개념이 성립하지 않는다는 것입니다.

방정식의 차수가 의미있는 경우는 오직 그 방정식이 다항식에 대한 방정식인 경우뿐인데, 이 경우는 지수함수가 포함되어있지요.

그러니 일차방정식과 이차방정식의 성질이 다르고 풀이가 다른 것처럼, 또는 이차방정식과 로그방정식의 성질이 다르고 풀이가 다른 것처럼, 지수함수가 포함되어 있으면 당연히 근의 개수와 같은 성질이나 그 근을 구하는 풀이법 역시 달라지게 마련입니다.

아니, 사실 솔직히 말씀드리지요. 저런 꼴의 방정식은, 매우 특수한 세팅이 되어있지 않은 한 절대로 고등학교에서 풀 수 없습니다.

몇몇 아주 특이한 경우들, 예를 들어 두 번째 경우만 해를 정확하게 구할 수 있습니다. (참고로 두 번째 문제 2^x = x^2 의 세 실근 중에서 두 양수근은 정확히 x = 2, 4 입니다.)

그럼에도 불구하고 혹시 '나는 고교과정에 얽매이지 않는 자유인이다! 아무것도 날 구속할 수 없어!' 라고 외치시며 호기심을 불태우신다면, 아래의 쓸데없은 사족을 읽어보셔도 좋습니다. (단, 멘붕은 책임지지 않습니다.)

어떤 함수를 등장시켜야 저 방정식들을 잘 풀었다고 소문이 날까요?

물론 선택지가 하나는 아니겠지만, 역사적으로 가장 잘 알려진 것은 xa^x 의 역함수를 생각하는 겁니다.

여기서 보통 a는 가장 자연스러운 선택인 e (자연상수)로 택하지요.

자연상수가 무엇인지 모르셔도 상관 없습니다. 그냥 2.7182818284590452354... 정도 되는 무리수입니다. 미적분학적으로 특별한 성질을 갖고 있어서 보통 이 수를 기준으로 지수함수를 생각하는데, 굳이 지금 레벨에서 그런 것을 알 필요는 없고, 그냥 a값을 적당히 아무거나 하나 택했다고 이해하시면 됩니다.

이때 xe^x 는 x ≥ -1 인 범위에서 역함수를 가지며, 그 역함수를 보통 W(x)라고 적고 람베르트 W-함수(Lambert W-function)라고 부릅니다. 즉, W(x)는 x ≥ -1 인 범위 내에서 x = W(x)e^W(x) 를 만족하는 유일한 함수로 정의됩니다.

이 함수를 이용하면 두 방정식을 모두 풀 수 있습니다.

우선 첫 번째 방정식 2^x = x^3 을 풀어봅시다.

이 방정식이 양수근을 가짐을 알고 있으므로, 양 변에 1/3 제곱을 할 수 있고, 2^(x/3) = x 를 얻습니다. 이항하면

1 = x 2^(-x/3) = x e^(-x(log_e 2)/3)

이 됩니다. 이제 k = -(log_e 2)/3 로 두고 이 값을 양 변에 곱해주면

k = kx e^(kx)

이 됩니다. 따라서 양 변에 W(x)를 취해주면

W(k) = kx

이 되며, x = W(k)/k 가 원하는 답이 됩니다.

어떻게 보면 매우 작위적인 풀이처럼 보일 수 있지만, W(x)라는 함수 자체가 비교적 좋은 성질을 갖고 있고 또 역사적인 정당성(!)도 갖고 있으며, 그 수치적인 값을 계산하기도 비교적 용이하기 때문에 비교적 좋은 풀이라고 할 수 있습니다. 참고로 W(k)/k 의 구체적인 값은 약

1.3734671196961651667

정도입니다.

다음으로 두 번째 방정식을 풀어봅시다. 풀이는 앞서와 거의 동일합니다.

일단 두 양수근은 직감으로 때려맞추면 x = 2, 4 임을 쉽게(?) 알 수 있습니다. 그러므로 오직 음수근만이 문제가 되지요. x가 식 2^x = x^2 의 유일한 음수근이라고 합시다. 양 변에 제곱근을 취하면

2^(x/2) = -x

가 됩니다. (왜 x가 아니라 -x일까요? 그것은 x가 음수이기 때문입니다.) 그러면

-1 = x 2^(-x/2)

이므로, 앞서와 같이 k = -(log_e 2)/2 로 두면

-k = kx e^(kx)

로부터 x = W(-k)/k 를 얻습니다. 그리고 이 값을 실제로 수치적으로 계산해보면

x = -0.76666469596212309311...

이 나옵니다.

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밝은마음 · 390888 · 11/12/17 11:24 · MS 2011

감사합니다.ㅠㅠ sos님~ 뭔얘기인지는 몰라도 감동했네요..^^ 그래도 저한테 관심가져주시는분이계셔서 감사합니다^^ 다들 그냥 무시하고 지나가시면 어쩌나..걱정했습니다.

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달나라초이 · 387069 · 11/12/17 14:09 · MS 2011

원래 다항식의 근도 3차방정식까지만 일반해를 구할 수 있어요.(근의 공식이 있다는 소리죠) 그외의 고차방정식은 이미 근의 공식이 존재하지 않는다는 증명까지 나왔거든요. 그래서 보통 조리제법으로 근이 나오지 않으면 4차이상의 방정식의 근은 구할 수 없습니다.

하물며 다항식도 그런데, 지수함수와 같은 초월 방정식은 애초에 대입법 말고는 근을 구할 수 없습니다.

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sos440 · 104180 · 11/12/17 14:37 · MS 2005

음, 고차방정식의 일반적인 근의 공식이 존재하지 않는 건 사실이지만 (아벨-루피니 정리), 그 경계가 3차까지가 아니라 4차까지입니다. 3차는 카르다노 해법이, 4차는 페라리 해법이 존재하지요.

근데 솔직히 말하면, 3차까지는 그래도 사람으로써 용납할 수 있는 정도의 복잡함이 나오지만 (이중근호 정도), 4차는 차마 눈뜨고 볼 수 없을 정도로 공식이 복잡하지요...

개인적인 의견으로는 그냥 근이 대수적으로 표현된다는 그런 학술적인 의미 의외에는 별로 쓸데가 없는 것 같습니다.

어차피 수치해석적인 방법으로 임의의 차수의 다항식의 근을 임의의 정확도로 구할 수 있고, 반대로 5차방정식의 일반해는 타원함수를 이용하여 표현됨이 증명되어 있으니 말이지요 -ㅁ-

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달나라초이 · 387069 · 11/12/17 20:14 · MS 2011

아 그런가요? 4차까지는 가능한가요? 사실 제가 대학수학은 거의 공부한 적이 없어서 몰랐습니다.
그냥 다른 곳에서 들은 풍문으로 말한 거죠.

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밝은마음 · 390888 · 11/12/18 09:26 · MS 2011

다들.. 초라한 제 질문에 심도있는 논의를 해주셔서 감사합니다^^ 그냥 저는 아무말없이 추천올려드리고가요^^또 앞으로 질문 많이 올릴거 같은데..^^ 그때 또 답변 많이 달아주시면 감사하겠습니다 ^ㅁ^

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